D E W I: Persamaan

Tampilkan postingan dengan label Persamaan. Tampilkan semua postingan

Nur Dewi

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dengan

$a \ne 0 \,\!$

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari $x 2$ , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a <> akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Lebih jelasnya silakan download modul berikut ini:

Label: Kuadrat, Modul, Persamaan 0 komentar |

Penyelesaian Umum Persamaan Kubik

Nur Dewi

Setiap persamaan kubik ax³+bx²+cx+d = 0 selalu bisa disederhanakan menjadi bentuk y³ + py + q = 0
Setelah kita memiliki bentuk yang sederhana ini, langkah berikutnya adalah substitusi nilai y dengan m - p/(3m) . Dengan mensubstitusikan nilai tersebut maka persamaan kubik akan bisa disederhanakan menjadi persamaan kuadrat. Langkah tersebut bisa kita lakukan sebagai berikut :
y³ + py + q = 0
$(m-\frac{p}{3m})^{3}+p(m-\frac{p}{3m})+q=0$
$m^{3}-3m^{2}.\frac{p}{3m}+3m\left ( \frac{p}{3m} \right )^{2}-\left (\frac{p}{3m} \right )^{3}+p\left ( m-\frac{p}{3m} \right )+q=0$
$m^{3}-pm+\frac{p^{2}}{3m}-\frac{p^{3}}{27m^{3}}+pm-\frac{p^{2}}{3m}+q=0$
$m^{3}+q-\frac{p^{3}}{27m^{3}}=0$
Jika kedua ruas dikali dengan m³ maka diperoleh
$m^{6}+qm^{3}-\frac{p^{3}}{27}$
Bentuk terakhir ini merupakan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam m³, sehingga kita tinggal memasukkan ke dalam rumus ABC .
$m^{3} = \frac{-q\pm \sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}$
Sesuatu yang muncul di bawah akar pada hasil terakhir ini kita sebut diskriminan, yaitu :
$D = q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}$
Adapun sifat-sifat diskriminan tersebut adalah sebagai berikut :
D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real
D = 0 maka persamaan kubik memiliki akar kembar (bisa 2 akar kembar atau 3 akar kembar)
D < 0 maka persamaan kubik akan memiliki tiga akar real

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³-6x²+9x-1= 0

Jawab :
Yang pertama kita lakukan aadlah substitusikan nilai x = y - b/(3a), sehingga dalam hal ini adalah x = y + 2. Dengan demikian persamaan menjadi :
(y + 2)³-6(y + 2)²+9(y + 2)-1= 0
y³ + 3y².2 + 3y.2² + 2³ - 6(y² + 4y + 4) + 9y + 18 - 1 = 0
y³ + 6y² + 12y + 8 - 6y² - 24y - 24 + 9y + 17 = 0
y³ - 3y + 1 = 0
Selanjutnya kita substitusikan nilai y = m - p/(3m) atau y = m + 1/m, dengan demikian kita peroleh :
$\left ( m+\frac{1}{m} \right )^{3}-3\left ( m + \frac{1}{m} \right )+1 =0$
$m^{3}+3m^{2}.\frac{1}{m}+3.m.\left ( \frac{1}{m} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{m} \right )^{3}-3m-\frac{3}{m}+1=0$
$m^{3}+3m + \frac{3}{m}+\frac{1}{m^{3}}-3m-\frac{3}{m}+1 =0$
$m^{3}+ \frac{1}{m^{3}}+1 =0$
Jika kedua ruas dikali m³ maka diperoleh :
m⁶ + 1 + m³ = 0
m⁶ + m³ + 1 = 0
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus ABC maka diperoleh :
$m^{3}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$
Jika kita perhatikan, nilai D < 0, dengan demikian persamaan ini memiliki 3 akar real berbeda. Untuk memecahkan persamaan ini kita perlu memahami bilangan kompleks. bentuk di atas bisa ditulis sbb :
$m^{3}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
Jika kita tulis dalam bentuk polar maka kita bisa mengubah sebagai berikut :
m³ = cos 120^o + i sin 120^o atau m³ = cos 480^o + i sin 480^o atau m³ = cos 840^o + i sin 840^o
Dengan mengakarkan maka berarti kita tinggal membagi sudut dengan 3, maka diperoleh :
m₁ = cos 40^o + i sin 40^o atau m₂ = cos 160^o + i sin 160^o atau m₃ = cos 280^o + i sin 280^o
Karena
$y=m+\frac{1}{m}$
maka
$y_{1}=m_{1}+\frac{1}{m_{1}}$
Perhatikan bahwa
$\frac{1}{m_{1}}=\frac{1}{cos40^{o}+isin40^{o}}=\left ( \frac{1}{cos40^{o}+isin40^{o}} \right )\left ( \frac{cos40^{o}-isin40^{o}}{cos40^{o}-isin40^{o}} \right )$
$\frac{1}{m_{1}}=\frac{cos40^{o}-isin40^{o}}{cos^{2}40^{o}-i^{2}sin^{2}40^{o}}=\frac{cos40^{o}-isin40^{o}}{cos^{2}40^{o}+sin^{2}0^{o}}$
$\frac{1}{m_{1}}=cos40^{o}-isin40^{o}$
Dengan demikian
$y_{1}=m_{1}+\frac{1}{m_{1}}=cos 40^{o}+isin 40^{o}+ cos 40^{o}-isin 40^{o}= 2cos40^{o}$
Dengan cara yang sama diperoleh
$y_{2}=2cos160^{o}$
dan
$y_{3}=2cos280^{o}$
karena
x = y + 2
maka
x₁ = y₁ + 2 = 2cos 40^o + 2
x₂ = y₂ + 2 = 2cos 160^o + 2
x₃ = y₃ + 2 = 2cos 280^o + 2
jadi himpunan penyelesaian dari persamaan x³-6x²+9x-1= 0 adalah
{2cos 40^o + 2, 2cos 160^o + 2, 2cos 280^o + 2}

Label: Kubik, Penyelesaian, Persamaan 0 komentar |

Persamaan kubik

Nur Dewi

Persamaan kubik memiliki bntuk umum
ax³ + bx² + cx + d = 0
dengan a tidak nol

Untuk menyelesaikan persamaan ini ada 3 cara yaitu :
1. memfaktorkan
2. menyederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat
3. rumus

Penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan
Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan kubik dengan metoda memfaktorkan untuk kasus-kasu yang sederhana

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - 6x = 0

Jawab :

x³ - x² - 6x = 0
x(x² - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - x + 1 = 0

Jawab :
x³ - x² - x + 1 = 0
x² (x - 1) - (x - 1)= 0
x² - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}

Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 9x + 18 = 0

Jawab :
x³ - 2x² - 9x + 18 = 0
x²(x - 2) - 9(x - 2) = 0
(x² - 9)(x - 2) = 0
(x + 3)(x - 3)(x - 2) = 0
x = -3 atau x = 3 atau x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 2, 3}

Contoh 4 :
Himpunan penyelesaian dari x³ - 2x² - 3x + 6 = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - 3x + 6 = 0
x²(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x² - 3)(x - 2) = 0
$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x-2)=0$
$x = -\sqrt{3}\vee x = \sqrt{3} \vee x = 2$
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\left \{ -\sqrt{3},\sqrt{3}, 2 \right \}$

Contoh 5 :

Himpunan penyelesaian dari 2x³ - x² + 4x - 2 = 0 adalah ...

Jawab :
2x³ - x² + 4x - 2 = 0
x²(2x - 1) + 2(2x - 1) = 0
(x² +2)(2x - 1) = 0
x² = -2 atau x = 1/2
x² = -2 tidak mungkin terjadi, jadi x yang memenuhi hanya 1/2, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {1/2}

Penyelesaian gabungan antara pemfaktoran dan rumus ABC

Contoh 6
Himpunan penyelesaian dari persamaan x³ - 2x² - x = 0 adalah

Jawab :
x³ - 2x² - x = 0
x(x² - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x² - 2x - 1 = 0

Untuk bentuk x² - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{2^{2}-4.1.(-1)}}{2.1}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\left \{ 1-\sqrt{2}, 0, 1+\sqrt{2} \right \}$

Untuk bentuk bentuk yang sulit difaktorkan, tetapi akar-akarnya masih rasional maka kita bisa menggunakan metoda horner, sedangkan jika akar-akarnya irasional maka kita gunakan metoda penyelesaian umum yang mengubah persamaan kubik menjadi persamaan kuadrat

Label: kubik, Persamaan 0 komentar |

SAYA

Labels

Blog Archive